Парадокс Кондорсе и теорема Эрроу. Двухпартийная демократия с позиций теории игр

Парадокс Кондорсе и теорема Эрроу. Варианты содержательной интерпретации теоремы Эрроу: прагматика демократии, апология авторитаризма, научный материализм. Двухпартийная демократия с позиций теории игр (условия устойчивости). Распределенные алгоритмы соорганизации. И институты правового общества, и институты централизованного планирования, предполагают наличие некоей власти. Институциональные формы власти, формы управления, могут быть весьма различны. В частности, современные формы власти формируются посредством некоторого формализованного учета «воли народа». Анализ показывает, однако, что при этом существует целый ряд проблем, далеко выходящих за рамки дилеммы «хорош руководитель или плох».

Еще до первой французской революции математик маркиз де Кондорсе теоретически исследовал некоторые коллизии, возможные при организации выборов. Это направление исследований привело впоследствии к теореме Эрроу, получившего за нее нобелевскую премию по экономике. В одной из содержательных интерпретаций, теорема Эрроу показывает, как стремление к рациональности политической жизни ведет к диктатуре. Не вдаваясь в математически строгие формулировки, поясним существо дела на простой модели, родственной, впрочем, рассуждениям Эрроу. Пусть есть всего два избирателя, и они решают вопросы о порядке предпочтения из небольшого числа- двух или трех- кандидатур, которые будем обозначать инициалами M, B и Vлц. Договоримся, с одной стороны, избегать ситуаций, когда один из двух избирателей становится диктатором, а с другой стороны- попытаемся, чтобы политическая жизнь обошлась без глупостей. Окажется, что эти желания- несовместны: или не всегда умная политическая жизнь, или диктатура. Пусть каждый избиратель формирует свой список предпочтений в виде строки, где на первом месте стоит самый предпочитаемый кандидат, а на последнем- самый неприемлемый, а места разделены запятыми, так что если два кандидата стоят не через запятую- то они занимают одно и то же место. Скажем, 1: V, B, M означает, что первый избиратель ставит на первое место кандидата V, на второе- кандидата B, и на третье- кандидата M. И пусть мы ищем «хорошую» процедуру, которая по двум спискам предпочтений выдает итоговый третий список предпочтений, разумеется, не зависящий от инициалов, а только от порядка, в котором эти инициалы стоят. Если кандидатов всего два, то единственный разумный и не диктаторский вариант состоит в том, что из 1: V, B и 2: V, B следует итог V, B а из 1: V, B и 2: B, V следует итог VB- когда избиратели расходятся во мнениях, то борьба кандидатов заканчивается вничью. Если бы мы захотели при расхождении во мнениях принимать мнение избирателя 1, то в этой простой ситуации он был бы в выигрыше вообще всегда, то есть был бы диктатором- ведь когда его мнение совпадало бы с мнением второго избирателя, его мнение также бы реализовывалось. Поэтому вариант ничьей- единственный антидиктаторский, его и будем, как последовательные противники диктатур, придерживаться. А теперь несколько усложним политическую жизнь, введя в игру третьего кандидата. И рассмотрим структуру мнений 1: V, B, M и 2: M, V, B. Понятно, что V предпочтительнее B – оба избирателя считают его предпочтительнее. Но попробуем теперь, с одной стороны, использовать наше антидиктаторское правило, а с другой стороны, одновременно с ним, устремимся к тому, чтобы политическая жизнь была рациональной. А именно, в качестве реализации стремления к рациональности, будем полагать, что в любой паре кандидатов решения о том, кто лучше, принимаются так, как будто третьего кандидата нет вовсе. Если мысленно убрать кандидата V, получим 1: B, M и 2: M, B что, по нашим антидиктаторским правилам, означает MB- равенство двух оставшихся кандидатов. Если мысленно убрать кандидата B, получим 1: V, M и 2: M, V то есть VM – равенство в несколько другой паре кандидатов. Объединяя результаты, получим полное равенство всех трех кандидатов MBV – раз они равны попарно. Но нами же ранее уже было установлено, что, разумеется, V предпочтительнее B, а вовсе не равноценен ему! В данном примере стремление к отсутствию диктатуры явно ведет к неразумным результатам.

Есть три варианта отношения к теореме Эрроу:

1. Раз все, формальные, институты демократии, несовершенны, то пусть, из всех из них, стабильно используется, некий вариант, а общество, зная о его несовершенстве, к нему приспособится.

2. Раз формальные процедуры, работают, настолько глупо, то пусть уж, лучше, так и будет диктатор- при всех, негативных, чертах, диктаторов, они, в среднем, не настолько глупы, как формальные процедуры.

3. Хорошо бы иметь диктатора, но идеального, который и мало ошибается, и настолько силен, что все ему подчиняются. Да еще, чтобы «не обидно было», то есть, чтобы подчинение, не задевало самолюбия.

Есть люди, предпочитающие, варианты 1 и 2. Вариант 3, кажется им, малореальным. Между тем, вариант 3, не столь нереален. Дело в том, что, кроме субъективных мнений, есть еще и объективная, данная нам всем, в сопоставимых ощущениях, реальность. Например, люди, самых разных убеждений, могут, с примерно равными результатами, использовать, один и тот же, автомат Калашникова- ибо он материален, принадлежит общей, для всех, объективной, реальности. И, вполне возможны, социальные институты, назначающие, на место диктатора, объективную реальность. Например, так устроена мировая наука. Чем еще хороша, объективная реальность, как диктатор- это тем, что она не нуждается, в дополнительных репрессивных органах, для осуществления, своих властных полномочий- у ней свои методы.

В Исламе есть легенда, о праведнике Ибрагиме, который обсуждал, с неким властителем, уровень его влияния. Эта легенда привлекла Пушкина, придавшего теме, вид диалога, властителя, с Богом: «Я также, рёк он, жизнь дарую, и также смертью наказую: с тобою, Боже, равен я». Ответ на это, по Пушкину, переложившему, оригинальную точку зрения, Ибрагима: «Подъемлю солнце я с востока: с заката подыми его!»

Возможности, объективной реальности, как субъекта власти, не стоит недооценивать.

Если обращаться к демократической практике, то сегодня наиболее распространены двухпартийные системы, с поочередным уходом партий в оппозицию. Поскольку к любым демократиям надо приспосабливаться, изучим здесь двухпартийные системы, теоретически. Для ряда стран, рассматривающихся сегодня в качестве некоего образца демократии, характерны исторически сложившиеся двухпартийные системы, когда имеются две примерно равные по влиянию партии, напряженное соревнование которых и вынуждает политиков по настоящему учитывать мнения избирателей. Однако, попытки формального переноса соответствующих законодательных норм в другие страны далеко не всегда приводят к позитивным результатам- «так, как в традиционно демократических странах», не получается. В связи с этим, принято говорить о некоторой «политической культуре и демократических традициях», которых и не хватает. То есть, кроме формальных законов, для нормальной работы демократической системы необходимо еще нечто. Попробуем здесь приоткрыть завесу тайны над этим таинственным недостающим компонентом, прибегнув к анализу ситуации конкуренции двух партий за голоса избирателей. Как мы увидим, ситуация, когда реализуется двухпартийная конкурентная демократия, и она работает в известном смысле на благо избирателей, логически возможна. Вместе с тем, при некоторых конкретных условиях такая система может и не работать- и эти условия также будут получены в рамках нижеследующего анализа.

Пусть избиратели разбиты на подгруппы, таким образом, что количество бюллетеней, подаваемых каждой из групп за ту или иную партию, является функцией от предвыборных обещаний партий. В действительности, реакция избирателей имеет вероятностный характер, но мы будем полагать, что группы довольно многочисленны, так что случайные отклонения усреднятся, и в целом каждая группа будет реагировать на содержание предвыборных обещаний почти детерминированно. Далее, примем «гипотезу эгоизма»- будем полагать, что каждая группа реагирует не на предвыборные обещания в целом, а лишь на обещания, адресуемые ей. Наконец, примем «гипотезу реалистичности»- будем полагать, что, обещая одной группе избирателей некие преференции, каждая партия снижает преференции для других групп, и тем становится об этом известно - например, благодаря критике со стороны конкурирующей партии, либо благодаря разумности и образованности избирателей. Будем также предполагать, что предпочтения избирателей ни от чего, кроме текущих предвыборных обещаний, не зависят- не зависят, например, от истории партий, от их имиджа, от авторитета и привлекательности их лидеров.

В описанных предположениях, каждая из двух партий, разрабатывая свою предвыборную платформу, будет решать вопрос, как именно распределить, например, бюджетные субсидии, по группам избирателей, с тем, чтобы в итоге набрать максимальное количество голосов в свою пользу. Такая задача близка к задаче о конкурентной борьбе за покупателей двух корпораций, также решающих, какие средства вложить в рекламу, нацеленную на различные группы. При этом в политической сфере имеется то отличие, что все избиратели имеют равную «платежеспособность»- по одному голосу- тогда как корпорации интересует денежный платежеспособный спрос, то есть, больше интересуют покупатели с большими средствами.

Подобно тому, как это действительно делается при оптимизации маркетинговых стратегий крупных корпораций, для выработки «оптимальной программы» в идеале требуется знать как можно больше о тех функциях, которые описывают отклик избирателей на предвыборные обещания. Здесь мы примем относительно этих функций некоторые упрощающие предположения. Во первых, будем считать, что явка избирателей стопроцентная- тем самым, достаточно предвидеть, сколько избирателей рассматриваемой группы проголосуют за партию a- все прочие проголосуют за партию b. Прогноз для поддержки группой 1 партии a является, вообще говоря, функцией не только от обещаний (допустим, обещаний бюджетных субсидий) со стороны этой партии, но и от конкурентных обещаний со стороны партии b. Мы для простоты положим, что доля поддержки группой 1 партии a является функцией от объединенного параметра- от отношения обещанного субсидирования группы 1 партией a к сумме обещанных субсидирований этой группы партиями a и b. Такое предположение об однопараметричности позволит нам изображать соответствующие функции на графиках. На графике изображена модельная зависимость доли группы 1, голосующей за партию a, как функция от отношения бюджетных обещаний в адрес этой группы со стороны этой партии, Ma, к сумме бюджетных обещаний в тот же адрес со стороны обеих партии, Ma +Mb.

Для другой группы аналогичная зависимость может быть иной, например, более пологой, как это изображено для группы 2 на нижеследующем рисунке:

Предположим, что на некоторой стадии формирования предвыборных платформ бюджетные обещания в отношении группы 1, и группы 2, были на одном уровне со стороны обеих партий, что соответствует значению параметра Ma/(Ma+Mb)=0.5. Такая ситуация может измениться, в дальнейшем планировании, если хотя бы одна из партий имеет возможность так изменить свои предвыборные обещания, чтобы это было ей выгодно. Но, оказывается, это не всегда просто сделать- вообще говоря, таких изменений может не существовать. Предположим, для краткости (данное предположение, как читатель может удостовериться самостоятельно, на выводы не влияет- и потому не вошло в наш список базовых допущений), что обе рассматриваемые группы избирателей 1 и 2 равны по численности. И пусть партия a решает снизить бюджетные обещания в адрес группы 1 до уровня, показанного пунктиром на графике 1 - параметр Ma/(Ma+Mb) станет меньше, чем 0.5. Высвободившиеся средства эта партия переместит на бюджетные обещания группы 2, и доля ее сторонников во второй группе увеличится, как это показано пунктиром на графике 2. Однако, как видно из сопоставления рисунков 1 и 2, увеличение числа сторонников в группе 2 может совпадать с его уменьшением в группе 1- и тогда такое изменение программы будет бессмысленно, не даст выигрыша. При каких условиях это произойдет? Очевидно, это произойдет только в случае, когда изменения параметра Ma/(Ma+Mb) для групп 1 и 2 специальным образом взаимно согласованы. Скажем, видно, что увеличение этого параметра для группы 2 в рассматриваемом примере больше, чем уменьшение того же параметра для группы 1, в силу того, что для группы 2 график зависимости более пологий. Если считать уменьшение бюджетного обещания партии a группе 1 равным по величине увеличению бюджетного обещания этой партии в адрес группы 2, то большее значение изменения параметра Ma/(Ma+Mb) возможно только за счет меньшей суммы Ma+Mb – то есть, во сколько раз более пологой является зависимость отклика избирателей на изменение соотношения обещаний, во столько раз меньше должна быть сумма обещаний в адрес этой группы. Если такое условие выполнено, то, по крайней мере, столь простые модификации предвыборных платформ, к выигрышу не ведут. Причем в итоге это «необходимое условие устойчивости» задает однозначно предвыборные платформы обеих партий. Действительно, наклон графиков отклика избирателей на изменения относительного уровня обещаний, по крайней мере, в малой окрестности точки равных обещаний- это фиксированная величина (равная 4 для первого графика и 1.5 для второго, в нашем примере). Соответственно, раз суммы обещаний должны быть пропорциональны этой величине – то известно, что второй группе должны обещать 1.5/(1.5+4)=27.2727..% доли бюджета, приходящейся на эти две группы, а первой группе- 4/(1.5+4)=72.7272..% доли того же бюджета, и аналогично решается вопрос при большем числе групп. Если группы не равны по численности, то пропорционально крутизне функции отклика распределяется бюджет в расчете на одного члена группы. Причем программы обещаний каждой из партий практически совпадут- что часто наблюдается в политической жизни некоторых стран.

Что будет, если одна из партий попытается отклониться от вычисленной выше стратегии? А очень просто- другая партия тут же ее переиграет- только в вышеописанных условиях может быть ситуация, когда «противник ничего не может предпринять».

Вышеописанная модель «идеальной двухпартийной демократии» любопытна в том отношении, что по итогам выборов общество не будет расколото- все равно обе партии придерживались по сути одной и той же программы, сбалансированно учитывающей все группы избирателей- просто одна из партий сориентировалась на этот баланс точнее, и нет никаких оснований считать избирателя, голосовавшего не так, как другой, идеологическим врагом.

Но раз партии одинаковые, то зачем их две? А затем, что если не будет конкуренции, то чего ради политики вообще будут столь детально интересоваться мнением народа? Партии именно должны быть примерно одинаковые, и две, и жестко конкурировать в рамках неких правил «честной борьбы».

Двухпартийная демократия реализует некий вариант равенства- а именно, равенства на единицу остроты реакций, а не на один голос сам по себе. Если некая группа избирателей безразлична к предвыборным обещаниям, то есть имеет нулевую остроту реакций- в логике двухпартийной борьбы она не получит ничего, ни от одной из партий- партии будут вынуждены предложить свои обещания иным, менее инертным, группам. Именно вынуждены- попытка действовать иначе приведет партию к проигрышу.

Казалось бы, в обществе в описанных условиях может нарастать степень остроты реакции- это дает возможность даже малой группе избирателей получать большие преференции. И такие негативные феномены видимо имеются в «современной демократии». В то же время, нарастание остроты реакций может приводить к дестабилизации самого института конкурентной демократии, к возникновению ситуации, когда предвыборные платформы неустойчивы, и не отражают в каком-либо ясном смысле действительные интересы избирателей.

Неустойчивость связана с возможностью вовсе не малых модификаций равновесных избирательных программ, исходящей из того, что если некую группу обделять мало- то за счет этого много не выиграешь, а если обделить очень сильно- то она свое несогласие слишком сильно выразить все равно не сможет- больше чем сто процентов своих голосов противнику все равно не отдаст- а других избирателей за ее счет можно эффективно стимулировать. Представим себе, например, что есть группа 1 в 1% избирателей, а прочие избиратели образуют монолитную группу с крутизной реакции x. Если в рамках равновесных предвыборных платформ группа 1 получала некую субсидию, допустим в размере 1% бюджета, то одна из партий может предложить эту субсидию не давать, а отдать большой группе. Тогда первая группа не даст те 0.5*1%=0.5% голосов, которые дала бы при равновесной избирательной платформе- она все свои голоса отдаст той партии, которая продолжает ее интересы учитывать, а не распределит эти голоса примерно поровну между конкурирующими партиями. Но вторая, большая, группа, даст дополнительно на единицу своей численности прирост голосов в количестве около x*(1/(1+0.99)- 0.99/(0.99+0.99)= x*0.01/(2*0.99), или, с учетом численности этой группы, 99%*x*0.01/(2*1.99) голосов. Это может быть выгодно первой партии, если x*0.99%/(2*1.99)1>0.5%, то есть если острота реакции большой группы, x, выше, чем приблизительно 2. В описанных условиях не будет стабильных предвыборных платформ, пропорционально учитывающих интересы всех избирателей, будет выгодно учитывать только мнение большой остро реагирующей на преференции группы, и игнорировать интересы маленькой группы. Причем партии будут вынуждены так поступать, чтобы не проиграть в конкурентной борьбе.Тем самым, слишком высокая острота реакции избирателей также социально неприемлема.

Вообще говоря, при избыточно острой реакции на преференции, не всегда будет иметь место именно диктат большинства, и неучет мнения меньшинства – может быть и просто политическая нестабильность. Ведь и наличие большой монолитной группы- далеко не всегда некая нерушимая данность, напротив, реально всегда есть гетерогенность, и возможность использовать эту скрытую гетерогенность в интересах победы в предвыборной борьбе.

Чтобы лучше понять последнюю проблему, рассмотрим гипотетическое общество, где все группы избирателей реагируют предельно остро- то есть, та партия, которая предложит чуть-чуть больше, чем вторая, мгновенно получает все голоса соответствующей целевой группы (targeted group- термин, используемый в математических исследованиях рекламных стратегий крупных корпораций). Пусть в обществе было 20 примерно равных по численности целевых групп избирателей, и некоторая предвыборная платформа, предлагавшаяся партией a, имела вид, показанный на рисунке.

Видя эту платформу, партия b может предложить свою платформу, отличающуюся тем, что финансирование целевой группы #13 исключено, а высвободившийся бюджет поровну распределен между прочими 19-ю группами. Как видно из рисунка, каждая из девятнадцати групп теперь получила несколько больше, чем ранее, а значит, в рамках предположения о предельно острой реакции на преференции, проголосует целиком за партию b. Группа 13, конечно, будет против- но это примерно 5% голосов против, ни на что не повлияет. Но, видя это, теперь уже партия a предложит, по тому же простейшему правилу, свое перераспределение, когда все девятнадцать групп, теперь уже включая группу 13, но исключая на этот раз допустим целевую группу 1, вновь получат преференции- за счет того, что в рамках платформы партии b причиталось ныне обделенной группе 1. И так далее- выиграет та из партий, которой выпадет сделать последний ход, вне связи с деталями мнений избирателей. Конечно, такую ситуацию назвать нормальным управлением обществом нельзя.

Как видим, демократические системы управления- не столь уж простой, и даже не столь уж надежный, инструмент управления обществом. Причем, конечно, в современном информационном обществе навыки «взлома» этих систем совершенствуются. С другой стороны, нет ни тени сомнения, что современная наука могла бы предложить пути решения многих проблем устойчивости и эффективности демократических систем.

Например, разрабатывалась система моделирования “честного рынка решений” на основе материалов анкетирования, когда каждый участник расставлял неотрицательные оценки по вариантам решения некоторого пакета проблем. Компьютер находил по указанной совокупности данных взаимоприемлемый компромисс, руководствуясь следующей процедурой: - оценки решений, полученных от каждого лица, нормируются: делятся на общую сумму выставленных этим лицом оценок (после нормировки сумма выставленных каждым участником оценок делается одинаковой для всех участников, и равной единице, то есть создается аналог ситуации когда на рынке у каждого исходно одинаковая сумма денег); после этого, уже с использованием нормированных оценок, находится решение - аутсайдер, для которого сумма оценок всех лиц по этому решению минимальна. Это наименее популярное из всех рассмотренных решений выбрасывается, после чего вновь производится перенормировка оценок: нормированные оценки тех лиц, которые поставили ноль непопулярному решению, не изменяются, а нормированные оценки тех лиц, которые оценили непопулярное решение выше ноля, вырастают. Тем самым им компенсируется ущерб, вызванный выбрасыванием решения, которое они безнадежным не считали. В противном случае, если не использовать компенсации, мы получим расхождение с “рыночными” принципами - получится, что люди заплатили “деньги за товар который им не дали”, “заплатили не за товар а всего лишь за нереализованное желание его приобрести” (так случается, конечно, и на рынке, но только при нечестных продавцах - честный продавец, если у него не взяли товар, от денег обязательно откажется). При наличии нескольких кандидатов на выбрасывание (практически крайне маловероятная ситуация равенства минимальных оценок) для определенности исключается тот, кто расположен ближе к началу списка (произвол и неоднозначность в этом моменте нас не интересует, поскольку и на рынке можно купить равноценный товар просто у того кто стоит в конце прилавка - главное, чтобы за товар было заплачено; реально “рента” при расположении варианта решения ближе к концу слишком редко выплачивается и невелика, и даже может быть, при наличии указываемых ниже дополнительных правил, различного знака - в реальных ситуациях ею смело можно пренебречь), для укороченного списка решений процедура повторяется, до тех пор пока по некоторому вопросу не останется только одно решение. Такое решение считается принятым, не подлежит выбрасыванию. Аналогия с идеально честным рынком предполагает, что и на “владение” этим уже прошедшим решением продолжают начисляться освобождающиеся баллы - в противном случае получат преимущество те, чьи решения прошли (случайно или преднамеренно) раньше чем у других - эти решения исходно достаются им “слишком дешево”, когда на них еще мало высвобождающихся баллов начислено. В экономике частичным аналогом такой “платы за владение” является, например, налог на недвижимость. Отсутствие более явных аналогий с экономикой обусловлено тем, что в нашем случае баллы - “деньги” одноразового использования, и по мере принятия решений кончаются навсегда. Описанная процедура заканчивается, когда по каждому вопросу останется только одно решение.

Заключительные замечания

В данном цикле статей мы сознательно акцентировали внимание на некоторых острых проблемах современной жизни. Негативные факты нередко дают повод к сомнениям в позитивном предназначении человека. Например, встречаются идеи о заведомой вредности прогресса. В действительности, мы возможно просто не знаем своего предназначения. А потому не можем и утверждать, что все наши проблемы - от бесперспективности нашей жизни. Это ведь могут быть и просто «болезни роста». Ребенок, болеющий свинкой, тоже неприглядно выглядит. Потом проходит. Сейчас человек выглядит как пусть и властвующий над природой, но властвующий бессмысленно. Но это сейчас, выводы делать рано.

Попробуем заглянуть в проблемы самого отдаленного будущего - опираясь исключительно на представления совремнной науки, при всей их ограниченности.

Через миллиарды лет – Солнце выгорит, и схлопнется. Будет взрыв, уничтожающий все живое. Биосфера погибнет. И самые гармоничные животные и растения ничего сделать не смогут. А что же невероятно негармоничный, видимо бесполезный природе, человек?

А он, судя по всему, сможет это. И не через миллиарды лет. Можно начать экстренную программу ухода от взрыва Солнца уже почти сейчас, на почти нашем техническом уровне.

Автор Невова Непутин.

Список данного цикла статей:

Простейшая модель культурно-исторического процесса, и специфика современной социо-экономической ситуации. 

Рыночные механизмы соорганизации. 

Тенденция выравнивания нормы прибыли.

Проблема неточности целеполагания. 

Парадокс Кондорсе и теорема Эрроу. Двухпартийная демократия с позиций теории игр